Productos Notables y Factorizacion. Operaciones con fracciones y radicales.: factorizacion de un cubo cuadrado perfecto

Productos Notables y Factorizacion. Operaciones con fracciones y radicales.: factorizacion de un cubo cuadrado perfecto: a 3 + 12a 2 + 48a + 64 = (a + 4) 3 a 4 3.a 2 .4 3.a.4 2 12a 2 48a ...

Teorema del residuo y del factor

 Teorema del residuo

   Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teoría global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la formula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias teóricas y prácticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle.

Sea Ω un abierto no vacío de C y sea f una función holomorfa en Ω\ A, donde A ⊆ Ω consta de singularidades aisladas de f. Para todo ciclo Ω homologo a 0 respecto de Ω tal que A ∩ sop r = ∅ se verifica

πi Ω f (z) dz =∑  Res( f ; a) Ind_(a)

El teorema del residuo permite saber el valor del residuo de una división sin necesidad de efectuar dicha división. Claro que si el residuo es cero, el divisor será uno de los factores del dividendo.

Teorema del factor

Si r es una raíz de ɍ(x) = 0, entonces ɍ (r) = 0. Por tanto, de acuerdo con el residuo del teorema, R es cero en la expresión

F (x) = Q (x) (x-r)
 De esta manera x----r es un factor de f (x) expresión que conduce al teorema del factor.  Si r es raíz de la ecuación racional  entera f (x), = 0, entonces x --- r es factor de f (x).
Recíprocamente, si x --- r es factor de f (x), entonces el residuo que resulta dividir f (x) entre x --- r es igual a cero. Por tanto, r es raíz de f (x) = 0. De esta manera a continuación se expone reciproco del teorema del factor.<+o:p>

  Si x --- r es factor del polinomio f (x), entonces r es raíz de f (x) = 0.

Los binomios y trinomios pueden descomponerse en factores fácilmente aplicando los procedimientos, aplicando el teorema del factor obtenemos un método para descomponer en factores un polinomio  cualquiera. Si bien  el procedimiento de aplicación del teorema es un proceso de tanteo, es probablemente el método más breve para una expresión complicada.

 El teorema del factor, es una exposición sencilla, es el siguiente: Si al sustituir un numero en la expresión que se desea descomponer, dicha expresión se anula, entonces dicho numero, cambiado de signo, es el ultimo termino de uno de los factores de la expresión. El primer término de este factor binó mico se busca por inspección del primer término de la expresión que se quiere factorizar;  generalmente ese primer término es una letra con exponente 1.

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1°Se quiere conocer el residuo R cuando se divide P (x)= X100+X22 15 entre x-.

R= P (1)0 1100+122 - 15= -13

2° Si se sabe que  +1 es una raíz de la ecuación X2-1 =0, podemos decir que (x-1) es un factor de X2-1 es decir que se tiene:

               X2-1= (x-1) Q (x)

                 X2-1/x-1=Q(x)

3° ¿Sera -2 raíz de la ecuación algebraica X2+ x-2=0?

Hagamos x= -2 en P(x)= X2+x -2=0, se tiene:

P(-2)=(-2)2+ (-2)-2= 4 -2 -2= 0<+span>

Si, -2 es una raíz de la ecuación X2+x -2=0

Además (x+2) es un factor de X2+x -2

Efectivamente: (x-1) (x+2)=x-2

4° Calcula el cociente y el resto de las siguientes ecuaciones

 a)    (2x3 – 4x2 +x-1) (x-1)

          C(x)= 2X2-2x – 1   R= -2
b)    (6x5- 4x3 + 2x) (x – 5)
          C(x)=6x4 + 30x3+ 146x2 + 730x + 352    R=18260

5° Use el teorema del factor para probar que x+1 es un factor de X13+1.
 x+1=x –(-1)  asi   y=-1        <+span>
      p(-1)= (-1)13 + 1 = -1+1 =0                                                                                                                                                                   .   Luego –1 es un cero de P(x)= X13 + 1                                                                     
 Así X- (-1)= X+1es un factor de X13 + 1


6°Hállese el residuo de dividir el polinomio P(x)= 4X4 +10X3 +19X+5 entre X+3               X+3 se puede escribir como X-(-3)                                                                         
por tanto y= -3 P (-3)=4(-3)4+10(-3)3+19(-3)+5.                                                    
 P (-3)=2    El residuo es 2.

7° Si  y  es un cero del polinomio P(X), entonces X-Y es un factor de P (x).                                   
Si   y es un cero de P (X) , P(y)=0                                                                                           Pero por el algoritmo de la división P(X)= (x-y) Q (x) + R..

Como P (y)= 0, P(y)= (y-y) Q (y) + R= 0,

Por tanto, R=0 y P (x) = (x-y) Q(x).

8° (2X3 – 4X2 +x-1)/ (X-1)

9° (6x5 - 4x3 + 2x)/ (x – 5)

10° (x4 – 4x3 + x -2)/ (x-2)

11° (X4 – 4X3 +3x2+2)/ (x+4)

12° (x8-16)/ (x+2)

13° (2x4 + 3x2 + 2X +6)/ (X-2)

14°  (X5 + 24X4 – X2 + 1)/ (X-3)

15° (2X5 – X2 – X -1)/ (X+ 1/3)

Diapositivas de monomios y polinomios

Mapa conceptual

                                                 Monomios y polinomios

                Monomios                                      Polinomios

La expresión algebraica que tiene un                                 La expresión algebraica que tiene dos

           solo término.                                                                                           o mas terminos. 

 Las partes de un monomio pueden ser:                       Para sumar dos polinomios se suman los

                                                                                                coeficientes de los terminos del mismo 

°Coeficiente (parte numerica)                                            grado.   El valor numérico de un polinomio

°Grado (exponente, positivo de                                         es el resultado que obtenemos al sustituir

   la parte literal)                                                                   la variable x por un número cualquiera.

°Parte literal (letras afectadas por una

 unica operacion)                                                                El grado de un polinomio es el grado maximo de los exponentes de los     

                                                                                              

                                                                                               monomios que lo componen.

La suma de los monomios es un

monomio que tiene la misma parte literal

y cuyo coeficiente es la suma de los                               Un polinomio en el que aparecen sumas

coeficientes.                                                                        o restas se dice monomio    

axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ                                                               

                                                                                             El grado de un polinomio P(x) es el mayor

                                                                                             exponente al que se encuentra elevada 

La multiplicación de monomios es otro                       la variable. monomio que tiene por coeficiente el

 producto de los coeficientes y cuya parte                     Binomio: es un polinomio que consta

literal se obtiene multiplicando las potencias                 unicamente de dos terminos separados   

que tenga la misma base.                                                por un signo de mas (+) o de  menos (-),

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}                                                    es una expresion algebraica formada por

                                                                                              la suma de dos monomios   

                                                                                            

                                                                                            Un trinomio es un bitmin, con tres terminos,

                                                                                             es la suma de tres monomios

Resumen de monomios y polinomios

Monomios

La expresión algebraica que tiene un solo término. Es una expresión algebraica en la que los números y las letras están unidos por los signos de multiplicar, de dividir o de potencia

Para sumar o restar monomios estos deben ser monomios semejantes.
 Las partes de un monomio pueden ser:
°Coeficiente (parte numerica)         °Grado (exponente, positivo de la parte literal)
°Parte literal (letras afectadas por una unica operacion)
Se multiplican los coeficientes se suman los exponentes de las incógnitas idénticas de cada factor y se añaden las incógnitas restantes con el exponente que tienen.  Para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. El grado de un polinomio es el grado maximo de los exponentes de los monomios que lo componen


La suma de los monomios es un monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ

2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

axⁿ · bx^m = (a · b)x^{n + m}

(5x² y³ z) · (2 y² z²) = 10 x² y⁵ z³

Se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

axⁿ : bx^m = (a : b)x^{n − m}

Polinomios

La expresión algebraica que tiene dos o más términos . Polinomio es la expresión que contiene letras, la variable, y números, los coeficientes, relacionados por medio de las operaciones de suma, resta y multiplicacion. Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los terminos del mismo grado.   El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Un polinomio en el que aparecen sumas o restas se dice monomio    

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable.
Binomio: es un polinomio que consta unicamente de dos terminos separados por un signo de mas (+) o de menos (-), es una expresion algebraica formada por la suma de dos monomios.
Un trinomio es un bitmin, con tres terminos, es la suma de tres monomios